giải phương trình bậc 2 số phức

Giải phương trình 2 số phức là là một chủ để hay thuộc chương số phức lớp 12. Trong bài viết này mình sẽ chia sẻ với bạn không chỉ lý thuyết mà còn 6 dạng bài tập thường gặp. Đi kèm phương pháp luôn có ví dụ kèm lời giải chi tiết. Phần cuối có bài tập rèn luyện kĩ năng với hy vọng bạn luyện tốt chủ đề này. Ta bắt đầu

1. Lý thuyết phương trình bậc 2 số phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${{z}^{2}}=w$ được gọi là một căn bậc hai của w

Bạn đang xem: giải phương trình bậc 2 số phức

b) Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0,,left( a,,b,,cin mathbb{R};,ane 0 right)$. Xét $Delta ={{b}^{2}}-4ac$, ta có

• ∆ = 0 phương trình có nghiệm thực $x=-frac{b}{2a}$.
• ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: ${{x}_{1,2}}=frac{-bpm sqrt{Delta }}{2a}$.
• ∆ < 0: phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:${{x}_{1,2}}=frac{-bpm isqrt{|Delta |}}{2a}$.

Chú ý.

• Mọi phương trình bậc n: ${{A}_{o}}{{z}^{n}}+{{A}_{1}}{{z}^{n-1}}+…+{{A}_{n-1}}z+{{A}_{n}}=0$ luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).
• Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0,,left( ane 0 right)$ có hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi-ét $left{ begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = – frac{b}{a} hfill \ P = {x_1}.{x_2} = frac{c}{a} hfill \ end{gathered} right.$

2. Các dạng bài tập giải phương trình số phức

Dạng 1. Phương trình bậc hai với hệ số phức

Ví dụ: Biết ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm số phức của phương trình ${{z}^{2}}-2z+4=0.$ Tính |z1| + |z2|.

Lời giải

Ta có $Delta ={{b}^{2}}-4ac=-12$

Căn bậc hai của ∆ là $pm isqrt{12}$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${{z}_{1}}=frac{2+isqrt{12}}{2}$ và ${{z}_{1}}=frac{2-isqrt{12}}{2}$

Dạng 2: Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều kiện K

Ví dụ: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện

a) (2 − i)x + (2 + y)i = 2 + 2i

b) $frac{{x – 2}}{{1 + i}} + frac{{y – 3}}{{1 – i}} = i$

Lời giải

Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

Chuẩn hóa số phức, dựa vào điều kiện đã cho để tìm số phức z

Ví dụ: Cho số phức ${{z}_{1}}ne 0,$ ${{z}_{2}}ne 0$ thỏa mãn $left| {{z}_{1}} right|=left| {{z}_{2}} right|=left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} right|.$ Tính giá trị của biểu thức $P={{left( frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} right)}^{4}}+{{left( frac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} right)}^{4}}$

Lời giải

Chuẩn hóa ${{z}_{1}}=1,$ đặt ${{z}_{2}}=a+bi,left( a,bin R right),$ khi đó $left| {{z}_{2}} right|=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Dạng 4. Bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức

Phương pháp giải

Các bất đẳng thức cổ điển

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của P = |z|

Lời giải

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |iz + 4 – 3i| = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

Lời giải

Dạng 5. Sử dụng bình phương vô hướng

Phương pháp giải

Ví dụ . Cho hai số phức z1, x2 thỏa mãn |z1 + 2z2| = 5 và |3z1 – z2| = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |z1| + |z2|

Lời giải

Dạng 6. Sử dụng hình chiếu và tương giao

Phương pháp giải

Ví dụ: Cho các số phức z = x + iy, (x, y ∈ R) thỏa mãn |z + 2 – 2i | = |z – 4i| Tìm giá trị nhỏ nhất của |iz + 1|.

Lời giải

3. Bài tập phương trình số phức

Câu 1. Trong $mathbb{C}$, phương trình $2{{x}^{2}}+x+1=0$ có nghiệm là:

Đang hot: vai trò của lí tưởng trong cuộc sống

A. ${{x}_{1}}=frac{1}{4}left( -1-sqrt{7}i right);{{x}_{2}}=frac{1}{4}left( -1+sqrt{7}i right)$

B. ${{x}_{1}}=frac{1}{4}left( 1+sqrt{7}i right);{{x}_{2}}=frac{1}{4}left( 1-sqrt{7}i right)$

C. ${{x}_{1}}=frac{1}{4}left( -1+sqrt{7}i right);{{x}_{2}}=frac{1}{4}left( 1-sqrt{7}i right)$

D. ${{x}_{1}}=frac{1}{4}left( 1+sqrt{7}i right);{{x}_{2}}=frac{1}{4}left( -1-sqrt{7}i right)$

Lời giải

Ta có: $Delta ={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4.2.1=-7=7{{i}^{2}}<0$ nên phương trình có hai nghiệm phức là:

${{x}_{1,2}}==frac{-1pm isqrt{7}}{4}$

Câu 2. Trong $mathbb{C}$, phương trình $left| z right|+z=2+4i$ có nghiệm là:

A. $z=-3+4i$

B. $z=-2+4i$

C. $z=-4+4i$

D. $z=-5+4i$

Lời giải

Đặt $z=a+bi,left( a,bin mathbb{R} right)Rightarrow left| z right|=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.

Thay vào phương trình: $sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+a+bi=2+4i$

Suy ra $left{ begin{gathered} sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 2 hfill \ b = 4 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a = – 3 hfill \ b = 4 hfill \ end{gathered} right.$

Ta chọn đáp án A.

Đang hot: 1 bông hoa hồng đỏ | Bestshop

Câu 3. Hai giá trị ${{x}_{1}}=a+bi,;,{{x}_{2}}=a-bi$ là hai nghiệm của phương trình:

A. ${{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$

B. ${{x}^{2}}+2ax+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$

C. ${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$

D. ${{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$

Lời giải

Áp dụng định lý đảo Viet : $left{ begin{gathered} S = {x_1} + {x_2} = 2a hfill \ P = {x_1}.{x_2} = {a^2} + {b^2} hfill \ end{gathered} right.$

Do đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình: ${{x}^{2}}-Sx+P=0Leftrightarrow {{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0$

Ta chọn đáp án A.

Đang hot: 1 bông hoa hồng đỏ | Bestshop

Câu 4. Trong $mathbb{C}$, nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+sqrt{5}=0$ là:

A. $left[ begin{gathered} z = sqrt 5 hfill \ z = – sqrt 5 hfill \ end{gathered} right.$

B. $left[ begin{gathered} z = sqrt[4]{5}i hfill \ z = – sqrt[4]{5}i hfill \ end{gathered} right.$

C. $sqrt{5}i$

D. $-sqrt{5}i$

Lời giải

${{z}^{2}}+sqrt{5}=0Leftrightarrow {{z}^{2}}=-sqrt{5}Leftrightarrow z=pm isqrt[4]{5}$

Ta chọn đáp án A.

Đang hot: 1 bông hoa hồng đỏ | Bestshop

Câu 5. Trong $mathbb{C}$, phương trình ${{z}^{4}}-6{{z}^{2}}+25=0$ có nghiệm là:

A. $pm 8 & ,;,pm 5i$

B. $pm 3,;,pm 4i$

C. $pm 5 & ,;,pm 2i$

D. $pm left( 2+i right) & ,;,pm left( 2-i right)$

Lời giải

$begin{gathered} {z^4} – 6{z^2} + 25 = 0 hfill \ Leftrightarrow {left( {{z^2} – 3} right)^2} + 16 = 0 hfill \ Leftrightarrow {z^2} – 3 = pm 4i hfill \ Leftrightarrow {z^2} = 3 pm 4i hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} z = pm left( {2 + i} right) hfill \ z = pm left( {2 – i} right) hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} $

Ta chọn đáp án A.

Đang hot: 1 bông hoa hồng đỏ | Bestshop

Câu 6. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện ${{z}^{2}}=|z{{|}^{2}}+overline{z}$?

A. 3

Xem thêm: dai hoc cong nghe thuc pham | Bestshop

B. 0

C. 1

D. 2

Lời giải

Gọi $z=a+bi,left( a,bin mathbb{R} right)$ là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có:

$begin{gathered} {z^2} = |z{|^2} + overline z Leftrightarrow {left( {a + bi} right)^2} = {a^2} + {b^2} + a – bi hfill \ Leftrightarrow a + 2{b^2} – bi – 2abi = 0 hfill \ Leftrightarrow left( {a + 2{b^2}} right) + left( { – b – 2ab} right)i = 0 hfill \ Leftrightarrow left{ begin{gathered} a + 2{b^2} = 0 hfill \ b + 2ab = 0 hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left{ begin{gathered} a + 2{b^2} = 0 hfill \ left[ begin{gathered} b = 0 hfill \ a = – frac{1}{2} hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} a = b = 0 hfill \ left{ begin{gathered} a = – frac{1}{2} hfill \ b = pm frac{1}{2} hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} $

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn đáp án A.

Đang hot: 1 bông hoa hồng đỏ | Bestshop

Câu 7. Phương trình $left( 2+i right){{z}^{2}}+az+b=0,left( a,bin mathbb{C} right)$ có hai nghiệm là $3+i$ và $1-2i$. Khi đó $a=?$

A. -9-2i

B. 15+5i

C. 9+2i

D. 15-5i

Lời giải

Theo Viet, ta có:

$S={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-frac{a}{2+i}=4-iLeftrightarrow a=left( i-4 right)left( i+2 right)Leftrightarrow a=-9-2i$

Ta chọn đáp án A.

Đang hot: 1 bông hoa hồng đỏ | Bestshop

Câu 8. Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}-2z+5=0$ và A, B là các điểm biểu diễn của ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A. $Ileft( 1;1 right)$

B. $Ileft( -1;0 right)$

C. $Ileft( 0;1 right)$

D. $Ileft( 1;0 right)$

Lời giải

${{z}^{2}}-2z+5=0Leftrightarrow {{left( z-1 right)}^{2}}+4=0Leftrightarrow z=1pm 2i$

$Rightarrow Aleft( 1;2 right);,Bleft( 1;-2 right)$

Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là $Ileft( 1;0 right)$.

Ta chọn đáp án A.

Đang hot: 1 bông hoa hồng đỏ | Bestshop

Câu 9. Phương trình ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-24x+72=0$ trên tập số phức có các nghiệm là:

A. $2pm isqrt{2}$hoặc $-2pm 2isqrt{2}$

B. $2pm isqrt{2}$hoặc $1pm 2isqrt{2}$

C. $1pm 2isqrt{2}$ hoặc $-2pm 2isqrt{2}$

D. $-1pm 2isqrt{2}$ hoặc $-2pm 2isqrt{2}$

Lời giải

$begin{gathered} {x^4} + 2{x^2} – 24x + 72 = 0 hfill \ Leftrightarrow left( {{x^2} – 4x + 6} right)left( {{x^2} + 4x + 12} right) = 0 hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} {x^2} – 4x + 6 = 0 hfill \ {x^2} + 4x + 12 = 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} {left( {x – 2} right)^2} + 2 = 0 hfill \ {left( {x + 2} right)^2} + 8 = 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ Leftrightarrow left[ begin{gathered} x = 2 pm sqrt 2 i hfill \ x = – 2 pm 2sqrt 2 i hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} $

Ta chọn đáp án A.

Đang hot: 1 bông hoa hồng đỏ | Bestshop

Câu 10. Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+sqrt{3}z+7=0$. Khi đó $A=z_{1}^{4}+z_{2}^{4}$ có giá trị là:

A. 23

B. $sqrt{23}$

C. 13

D. $sqrt{13}$

Lời giải

Theo Viet, ta có: $left{ begin{gathered} S = {z_1} + {z_2} = – frac{b}{a} = – sqrt 3 hfill \ P = {z_1}.{z_2} = frac{c}{a} = 7 hfill \ end{gathered} right.$

$begin{gathered} A = z_1^4 + z_2^4 hfill \ = {left( {{S^2} – 2P} right)^2} – 2{P^2} hfill \ = {left( {3 – 2.7} right)^2} – 2.49 hfill \ = 23 hfill \ end{gathered} $

Ta chọn đáp án A.

Đang hot: 1 bông hoa hồng đỏ | Bestshop